因式定理怎么理解

因式定理：如果多項(xiàng)式f(a)=0，那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式x-a。反過(guò)來(lái)，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

推廣：“ax-b為f(x)的因式”等價(jià)于f（b/a）=0。

余式定理：當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(x–a)時(shí)，所得的余數(shù)等于f(a)。

例1：當(dāng)除以(x–1)時(shí)，則余數(shù)等于。

整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)除以(x-a)商為q(x)，余式為r，則。

如果多項(xiàng)式r=0，那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式(x-a)。反過(guò)來(lái)，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式f(x)除以(mx–n)時(shí)，所得的余數(shù)等于f(n/m)。

例2：求當(dāng)除以(3x+1)時(shí)所得的余數(shù)。

設(shè)f(x)=9x^2+6x–7，則余數(shù)f（-1/3）=1-2-7=-8。

因式定理普遍應(yīng)用于找到一個(gè)多項(xiàng)式的因式或多項(xiàng)式方程的根的兩類(lèi)問(wèn)題。從定理的推論結(jié)果，這些問(wèn)題基本上是等價(jià)的。

若多項(xiàng)式中已知一個(gè)或數(shù)個(gè)零點(diǎn)，因式定理也可以移除多項(xiàng)式中已知零點(diǎn)的部分，變成一個(gè)階數(shù)較低的多項(xiàng)式，其零點(diǎn)即為原多項(xiàng)式中剩下的零點(diǎn)，以簡(jiǎn)化多項(xiàng)式求根的過(guò)程。方法如下：

（1）先設(shè)法找出多項(xiàng)式$f$的一個(gè)零點(diǎn)$a$。

（2）利用因式定理確認(rèn)$(x-a)$是多項(xiàng)式$f(x)$的因式。

（3）計(jì)算多項(xiàng)式$g(x)=frac{f(x)}{x-a}$。

（4）$f(x)=0$中，所有滿足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。因?yàn)?g(x)$的多項(xiàng)式階數(shù)較$f(x)$要小。因此要找出多項(xiàng)式$g$的零點(diǎn)可能會(huì)比較簡(jiǎn)單。

（5）欲使$A=BQ+R$成立，就令除式$BQ=0$，則被除式$A=R$能使此方程式成立則被除式=（商式）（除式）+余式。