矩陣的行秩和列秩一定相等嗎

是。一個(gè)矩陣中行秩與列秩是相等的，矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。

如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)、rk(A)或rankA。

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra，Rb}。

引理：設(shè)矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n，則A的列秩，秩都等于n。

當(dāng)r(A)<=n-2時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個(gè)正負(fù)號，所以伴隨陣為0矩陣。

當(dāng)r(A)<=n-1時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時(shí)伴隨陣必為非零）。