等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

一、等差數(shù)列前$n$項和的性質(zhì)

若等差數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，前$n$項和為$S_n$，則

（1）數(shù)列$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$cdots$$(k∈mathbf{N}^*)$是等差數(shù)列，且公差為$k^2d$。

（2）在等差數(shù)列${a_n}$中，若$S_n=m$，$S_m=n$，$m≠n$，則有$S_{m+n}=-(m+n)$。

（3）在等差數(shù)列${a_n}$中，若$S_n=S_m$，$m≠n$，則$S_{m+n}=0$。

（4）數(shù)列$egin{Bmatrix}dfrac{S_n}{n} end{Bmatrix}$為等差數(shù)列，首項為${a_n}$的首項，公差為$ racp24ubuu{2}$。

（5）若${a_n}$，${b_n}$都為等差數(shù)列，$S_n$，$T_n$分別為它們的前$n$項和，則$ rac{a_m}{b_m}= rac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

（6）若等差數(shù)列的項數(shù)為$2n$$(n∈mathbf{N}^*)$，則$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_偶-S_奇=nd$，$ rac{S_偶}{S_奇}= rac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差數(shù)列的項數(shù)為$2n-1(n∈mathbf{N}^*)$，則$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$（$a_n$為中間項），且$S_奇-S_偶=a_n$，$ rac{S_偶}{S_奇}= rac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$，$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差數(shù)列前$n$項和的性質(zhì)的相關(guān)例題

9)$，則項數(shù)$n$為____

A．10 B．14 C．15 D．17

答案：C

解析：因為$S_9= rac{9(a_1+a_9)}{2}=$$9a_5=18$，所以$a_5=2$，所以$S_n= rac{n(a_1+a_n)}{2}=$$ rac{n(a_5+a_{n-4})}{2}=$$ rac{n(2+30)}{2}=$$16n=240$，解得$n=15$，故選C。