等比數(shù)列的前n項和公式和與函數(shù)的關(guān)系

一、等比數(shù)列的前$n$項和公式和與函數(shù)的關(guān)系

1、等比數(shù)列的前$n$項和公式

若等比數(shù)列${a_n}$的首項為$a_1$，公比為$q$，則等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項和公式為$S_n=egin{cases}na_1,quadquadquadquadquad q=1 rac{a_1(1-q^n)}{1-q}= rac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。end{cases}$

注：（1）當(dāng)$q≠1$時，若已知$a_1$，$q$，$n$，則用$S_n= rac{a_1(1-q^n)}{1-q}$較方便；若已知$a_1$，$q$，$a_n$，則用$S_n= rac{a_1-a_nq}{1-q}$較方便。

（2）等比數(shù)列前$n$項和公式可看作函數(shù)關(guān)系$S_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不為0的常數(shù)，且$q$不為1，$n∈mathbf{N}^*$），它是關(guān)于$n$的指數(shù)類型的函數(shù)。

（3）等比數(shù)列前$n$項和公式分$q=1$和$q≠1$兩種情況，因此用公式求和時，若公比$q$不確定，則要對公比進行分類討論。

2、等比數(shù)列的前$n$項和公式與函數(shù)的關(guān)系

（1）當(dāng)公比$q≠$時，等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n= rac{a_1(1-q^n)}{1-q}$可變形為$S_n=- rac{a_1}{1-q}·q^n+$$ rac{a_1}{1-q}$。設(shè)$A= rac{a_1}{1-q}$，上式可化簡為$S_n=-Aq^n+A$。由此可見，數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$是一個關(guān)于$n$的指數(shù)型函數(shù)。

（2）當(dāng)公比$q=1$時，因為$a_1≠0$，所以$S_n=na_1$是$n$的正比例函數(shù)。

注：①當(dāng)$q≠1$時，$S_1$，$S_2$，$S_3$，$cdots$，$S_n$是函數(shù)$y=-Aq^x+A$的圖象上一群孤立的點的縱坐標(biāo)；

當(dāng)$q=1$時，$S_1$，$S_2$，$S_3$，$cdots$，$S_n$是正比例函數(shù)$y=a_1x$圖象上一群孤立的點的縱坐標(biāo)。

②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不是一個常數(shù)，而是一個字母或一個代數(shù)式時，要討論公比是否為1。

3、等比數(shù)列前$n$項和的性質(zhì)

（1）若${a_n}$為等比數(shù)列，$S_n$為其前$n$項和，當(dāng)$q≠-1$時，$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$cdots$，仍構(gòu)成等比數(shù)列，即有$(S_{2n}-S_n)^2=$$S_n·(S_{3n}-S_{2n})$，公比為$q^n$；當(dāng)$q=-1$且$k$為奇數(shù)時$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$cdots$，可構(gòu)成等比數(shù)列。

（2）在等比數(shù)列中，若項數(shù)為$2n(n∈mathbf{N}^*)$，$S_偶$與$S_奇$分別為偶數(shù)項與奇數(shù)項的和，則$ rac{S_偶}{S_奇}=q$；若項數(shù)為$2n+1$，則$ rac{S_奇-a_1}{S_偶}=q$。

（3）在等比數(shù)列${a_n}$中，當(dāng)$q=1$時，$ rac{S_n}{S_m}= rac{n}{m}$；當(dāng)$q≠1$時，$ rac{S_n}{S_m}= rac{1-q^n}{1-q^m}$。

二、等比數(shù)列的前$n$項和的相關(guān)例題

數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_{m+n}=a_ma_n$。若$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$$cdots+$$a_{k+10}=$$2^{15}-2^5$，則$k=$____

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：取$m=1$，則$a_{n+1}=a_1a_n$，又$a_1=2$，所以$

rac{a_{n+1}}{a_n}=a_1=2$，所以${a_n}$是以2為首項，2為公

比的等比數(shù)列，則$a_n=2^n$，所以$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$$cdots+$$a_{k+10}=$$ rac{2^{k+1}(1-2^{10})}{1-2}=$$2^{k+11}-$$2^{k+1}=$$2^{15}-2^5$，解得$k=4$，故選C。