上學期高二年級數(shù)學考試試題

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高二數(shù)學上學期期中試卷閱讀

可能用到的公式：球的體積公式 (其中R為球的半徑)

一.選擇題(共12題，每題5分，共60分，每小題只有一項是正確答案)

1. 設 ， ，則 ( )

A. B. C. D.

2.已知空間的兩條直線 及兩個平面 ，β，下列四個命題中正確的是( )

①若 ∥ ， ⊥ ，則 ⊥ ;②若 ∥β， ， β，則 ∥ ;

③若 ∥ ， ∥ ，則 ∥ ;④若 ∥β， ∥ ， ⊥ ，則 ⊥β

A. ①③ B、②④ C、①④ D、②③

3.橢圓 的左右焦點分別為 ，點P在橢圓上，則 的周長為( )

A、20 B、18 C、16 D、14

4.已知三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有( )

A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD

C、平面ABC⊥平面BDC D、 平面ABC⊥平面ADB

5.正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成的角等于( )

A.60° B.45° C.30° D.90°

6. 如果執(zhí)行下面的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于 ( )

A. B、 C. D.

7.“ ”是“ ”的( )

A、充分不必要條件 B、必要不充分條件

C、充要條件 D、既不充分也不必要條件

8、橢圓 的左右焦點分別為 ，點P在橢圓上， 軸，且 是等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為( )

A、 B、 C、 D、

9.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P﹣DCE三棱錐的外接球的體積為( )

A. B. C . D.

10.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的各個面中,最大的面積是( )

A. B.

C. 1 D.

11.已知方程 有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍是( )

A. B. C. D.

12.已知點P(1，1)及圓C： ，點M，N在圓C上，若PM⊥PN，則|MN|的取值范圍為( )

A. B.

C. D.

二.填空題(共4題，每題5分，共20分)

13.已知向量 =(4，2)，向量 =( ，3)，且 // ,則 =

14. 已知正三棱錐S-ABC的側棱長為2，底面邊長為1，則側棱SA與底面ABC所成角的余弦值等于

15.菱形ABCD的邊長為2，且∠BAD=60°，將三角形ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD，則三棱錐A-BCD體積的最大值為

16. 函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像所有交點的橫坐標之和等于

三.解答題(共5題，70分)

17(12分)、已知A、B、C是 ABC的內角， 分別是角A，B，C的對邊。

若

(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)若 ,求 ABC面積的最大值

18(14分). 如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

O為AB的中點

(1)證明：AB⊥平面A1OC

(2)若AB=CB=2，平面ABC 平面A1ABB1，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

19(14分).在數(shù)列 中， ,

(I)設 ，求數(shù)列 及 的通項公式

(II)求數(shù)列 的前 項和

20(14分)、已知過點A(0，4)，且斜率為 的直線與圓C： ，相交于不同兩點M、N.

(1)求實數(shù) 的取值范圍;

(2)求證： 為定值;

(3)若O為坐標原點，問是否存在以MN為直徑的圓恰過點O，若存在則求 的值，若不存在，說明理由。

21.(16分)已知函數(shù) ， .

(1)若函數(shù) 在 上是增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍;

(2)若存在實數(shù) 使得關于 的方程 有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù) 的取值范圍.

)參考答案

一.選擇題答(每題5分)DCBBD，BADCA，CA

二 填空題答6; ;1;12(每題5分)

17解：(I)由正弦定理及

得 …………………2分

由余弦定理 …………………4分

又 ，則 …………………………………6分

(II)由(I)得 ，又 ， 得

又 可得

…8分

……10分

當 時取得等號 ……11分

所以的 ABC面積最大值為 ……12分

18解：(1)證明：連結A1B.，因為CA=CB，OA=OB，所OC⊥AB

因為AB=AA1，∠BAA1=60°，所三角形AA1B為等邊三角形，

所以AA1=A1B，又OA=OB，所以OA1⊥AB，又 = ， 面A1OC

(2)由題可知， 與 是邊長為2的等邊三角形，得

平面ABC 平面A1ABB 平面ABC 平面A1ABB=AB，

由(1)OA1⊥AB， 平面A1ABB

面ABC

為三棱柱ABC-A1B1C1的高

=3

19【解析】(I)由已知有

則

( )

又 ，得

(II)由(I)知 ,

令

則

兩式相減得

=

=

20解：(1)(一)設直線方程為 ，即 ，點C(2，3)到直線的距離為

,解得

(二)設直線方程為 ，聯(lián)立圓C的方程得

,此方程有兩個不同的實根

,解得

(2)設直線方程為 ，聯(lián)立圓C的方程得

,設M ,

則

(2) 假設存在滿足條件的直線，則有

得 ，從而得 ,此方程無實根

所以，不存在以MN為直徑的圓過原點。

21.解：(1) ， ………………3分

當 時， 的對稱軸為： ;

當 時， 的對稱軸為： ;

∴當 時， 在R上是增函數(shù)，即 時，函數(shù) 在 上是增函數(shù); ………………6分

(2)方程 的解即為方程 的解.

①當 時，函數(shù) 在 上是增函數(shù)，∴關于 的方程 不可能有三個不相等的實數(shù)根; ………………8分

②當 時，即 ，∴ 在 上單調增，在 上單調減，在 上單調增，∴當 時，關于 的 方程 有三個不相等的實數(shù)根;即 ，

∵ ∴ . ………………10分

設 ，∵存在 使得關于 的方程 有三個不相等的實數(shù)根， ∴ ，又可證 在 上單調增

∴ ∴ ;………………12分

③當 時，即 ，∴ 在 上單調增，在 上單調減，在 上單調增，………………13分

∴當 時，關 于 的方程 有三個不相等的實數(shù)根;

即 ，∵ ∴ ，設

∵存在 使得關于 的方程 有三個不相等的實數(shù)根，

∴ ，又可證 在 上單調減∴

∴ ; ………………15分

綜上： . ………………16分

關于高二數(shù)學上學期期中試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.已知點 和 在直線 的兩側，則實數(shù) 的取值范圍為( )

2.已知橢圓的標準方程為 ，則橢圓的焦點坐標為( )

3. 已知 ，且 ，則 有( )

最大值 最大值 最小值 最小值

4.如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中 ， 軸， 軸，那么△ABC是( )

A. 等腰三角形 B. 鈍角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形

5.設實數(shù) 滿足約束條件 ，則目標函數(shù) 的最大值為( )

6.過正方體 的棱 、 的中點 、 作一個截面，使截面與底面 所成二面角為 ，則此截面的形狀為( )

三角形或五邊形 三角形或四邊形 正六邊形 三角形或六邊形

7.已知 、 為不同直線， 、 為不同平面，則下列說法正確的是( )

若 ， ， ，則 ; 若 ， ，則

若 ， ， 、 不平行，則 、 為異面直線;

若 ， ， ，則 .

8.異面直線 與 成 角，異面直線 與 成 角，則異面直線 與 所成角的取值范圍是( )

9.已知橢圓 ，過橢圓右焦點 的直線 交橢圓于 兩點，交 軸于點 ，設 ，則 ( )

10.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐 中， 分別是棱 上的動點，且滿足 ，則線段 中點的軌跡是( )

一條線段 一個三角形

一段圓弧 橢圓的一部分

二、填空題(本大題7個小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分)

11. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的表面積為________，體積為________.

12. 雙曲線 的實軸長為________， 漸近線方程是________ .

13. 與圓 外切，且與圓 內切的動圓圓心的軌跡方程為________.

14. 雙曲線 的兩個焦點分別為 ，點 在雙曲線上，且滿足 ，則 的周長為________，面積為________. .

15. 若 ，且 ，當且僅當________時， 取得最小值________. .

16. 已知 是球 表面上的點， 平面 ， ， ， ，則球 的體積等于________. .

17. 已知函數(shù) ， ，若對任意 ， 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍________. .

三、解答題(本大題5個小題，共54分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18. (1)若雙曲線的一條漸近線方程為 ，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程.

(2)一組平行直線 與橢圓 相交，求弦的中點的軌跡方程.

19. 如圖，在四棱錐 中，底面 為菱形， 平面 . ， 為 的中點， .

(1)求證： 平面 ;

(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.

20. 已知函數(shù) ， .

(1)當 時，解不等式 ;

(2)當 時，若關于 的方程 在 上的解集為空集，求實數(shù) 的取值范圍.

21.如圖，在三棱柱 中， 、 分別是 、 的中點.

(1)設棱 的中點為 ，證明： 平面 ;

(2)若 ， ， ，且平面 平面 ，求二面角 的余弦值.

22.已知橢圓 的兩個頂點分別為 ，點 為橢圓上異于 的點，設直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，且 .

(1)求橢圓 的離心率;

(2)若 ，設直線 與 軸交于點 ，與橢圓交于 兩點，求 面積的最大值.

期中試卷

四、選擇題(每小題3分，共30分)

1~10

五、填空題(本大題7個小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分)

11.

12.

13.

14.

15. 18

16.

17.

六、解答題(本大題5個小題，共54分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18. 若焦點在 軸上，易得雙曲線的標準方程為 .................2

若焦點在 軸上，雙曲線的標準方程為 。....................4

設 與橢圓 的兩交點 其中點

則 .........8

又 ，消去 得 。.....................9

所以弦的中點 的軌跡方程為 ………....10

19. 證明： 平面 ,又 平面 ，所以 ..........2

又底面 是菱形， ,得 為正三角形， 為 的中點，易得 ，所以 , ,故 平面 ...........................5

連接 ，易證 . 平面 ,又 平面 ,得面 面 ，且交線為 ，在平面 內，過 作 ,則 面 ，故 為 在平面 上的射影，即 為所求線面角。.............8

在 中易求 , , ...............10

其它解法酌情給分。

20. 解： 當 時， ，.......2

由 ，

當 時，由 解得 ;

當 時，由 解得 舍去 ;

當 時，由 解得 。

故原不等式的解集為 。.........................5

當 且 時， ， ， 。..........7

要使 在 上的解集為空集，即在 上無實根。記 ，為開口向上的拋物線。

當 時，須滿足 解得 。

綜上 ...................10

21. 證明： 為 上的中點，易證四邊形 為平行四邊形，連接 交 于點 則 為 的中點。連接 ,由中位線知 ,又 面 面 ,故 平面 ................5

易證 為正 ，又 為中點， 也為正 。面 面 ,且交線為 ,過 作 交于點 ，則 平面 .過 作 ,連結 則 ,則 為二面角 的平面角。........9

易求 , ， , ...............12

22. 解： 設 為橢圓 上的點

則 ， ........................................2

又

.............................................5

由 知 且 ..............................6

設直線 ，代入橢圓方程有

設 由韋達定理 .........................................8

.10

令 即有 代入上式得

當且僅當 即 時等號成立

面積最大值為 ......................................................................................12

第I卷(選擇題 共60分)

一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.數(shù)列 的通項公式為 ，則 的第 項是( )

A. B. C. D.

2.在 中， , , ,則 等于( )

A. B. C. D.

3. 等比數(shù)列 的前 項和 則 的值為( )

A . B. C . D.

4. 在 中， 分別是角 的對邊，若 ，

則 的形狀是( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形

5.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 ，前 項和為 ，若 ， ，則 ( )

A. B. C. D.

6. 我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為( )

A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤

7.若實數(shù) 滿足 ，則 的最小值為( )

A. B. C. D.

8.設等差數(shù)列 的前 項和為 ，已知 ， ，則 的最小值為( )

A. B. C. 或 D.

9.已知正數(shù) 的等差中項是 ，且 ，則 的最小值是( )

A. B. C. D.

10. 若不等式 對一切實數(shù) 都成立，則實數(shù) 的取值范圍為( )

A. B. C. D.

11.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂 之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知山高 ， ,在水平面上 處測得山頂 的仰角為 ，山頂 的仰角為 ， ,

則兩山頂 之間的距離為( )

A. B. C. D.

12. 中，角 的對邊長分別為 ，若 ，則 的最大值為 ( )

A.1 B. C. D.

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知 ，則 的最小值為_______________.

14.已知 中， ， ， ，則 面積為_______ __.

15. 在數(shù)列 中，已知 ， ，記 為數(shù)列 的前 項和，則 ________.

16.已知首項為2的正項數(shù)列 的前 項和為 ，且當 時， .若

恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為__________ _____.

三、解答題：(本大題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分).

設 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若 ， 且 ， ， 成等差數(shù)列.

(1)求 的通項公式;

(2)設 ，求證：數(shù)列 的前 項和 .

18.(本小題滿分12分)

已知關于 的不等式 的解集為 .

(1)求 的值;

(2)解關于 的不等式 .

19.(本小題滿分12分)

在 中，角 的對邊分別為 ，若 .

(1)求角 ;

(2)若 的面積為 ， ，求 的值.

20.(本小題滿分12分)

在 中，設角 , , 的對邊分別為 , , ，已知

(1)求角 的大小;

(2)若 ，求 周長的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列 滿足

(1)求數(shù)列 的通項公式;

(2)若 ， ，求 成立的正整數(shù) 的最小值.

22.(本小題滿分12分)

某漁業(yè)公司年初用81萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為1萬元，以后每年都增加2萬元，每年捕魚收益30萬元.

(1)問第幾年開始獲利?

(2)若干年后，有兩種處理方案：方案一：年平均獲利最大時，以46萬元出售該漁船;

方案二：總純收入獲利最大時，以10萬元出售該漁船.問：哪一種方案合算?請說明理由.

參考答案

一、選擇題(每小題5分，共12小題，共60分)

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B D C B C A D A C B A D

二、填空題(每小題5分，共4小題，共20分)

13、 14、 15、 16、

三、解答題(第17題10分，18-22題每題12分，共70分)

17、解：(1)設等比數(shù)列 的公比為 ，

∵ ， ， 成等差數(shù)列

∴ 即 ，……………………………(2分)

即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………(4分)

所以 的通項為 ( ) ……………………………(5分)

(2)由上知 ∵ ，

∴ ， ……………………………(7分)

∴

……………………………(9分)

∴ ……………………………(10分)

即數(shù)列 的前 項和為 .

18、解：(1)由題意知： 且 和 是方程 的兩根，……………………………(2分)

由根與系數(shù)的關系有 ，解得 ……………………………(6分)

(2)不等式 可化為 ，

即 . ……………………………(8分)

其對應方程的兩根為

①當 即 時，原不等式的解集為 ;……………………………(9分)

②當 即 時，原不等式的解集為 ;……………………………(10分)

③當 即 時，原不等式的解集為 ; ……………………………(11分)

綜上所述：當 時，原不等式的解集為 ;

當 時，原不等式的解集為 ;

當 時，原不等式的解集為 ;

……………………………(12分)

19、解：(1)(法一)：在 中，由正弦定理得

∴ ……………………………(2分)

又 ，∴ ，

∴ ……………………………(4分)

∴ ……………………………(5分)

， 故 ……………………………(6分)

(法二)由余弦定理得 ………………………(2分)

∴ ……………………………(3分)

∴ , ……………………………(5分)

, 故 . ……………………………(6分)

(2) ，所以 . ……………………………(7分)

又

∴由余弦定理得

∴ ……………………………(9分)

又由正弦定理知 ……………………………(10分)

∴ 即

∴ ……………………………(12分)

20、(1)由題意知 ……………………………(1分)

即 ……………………………(2分)

由正弦定理得 ……………………………(3分)

由余弦定理得 …………………………… (4分)

又 ， 故 …………………………… (5分)

(2)(法一)：由上知 ，

∴由余弦定理有 ，……………………………(6分)

又 ，∴ ， ……………………………(7分)

又∵

∴ ，(當且僅當 時取等號) ……………………………(8分)

∴ ， 即

解得 ，(當且僅當 時取等號) ……………………………(10分)

又∵三角形兩邊之和大于第三邊,即

∴ ……………………………(11分)

∴ ……………………………(12分)

所以 的周長的范圍為

(法二)由正弦定理知

∴ , ……………………………(6分)

又

則 的周長

…………………………(8分)

∵ ∴ ∴ ……………………………(10分)

∴ ，

所以 的周長的范圍為 .……………………………(12分)

21、解：(1)由 ………①

當 時， ………② ……………………………(2分)

①–②得 即 ……………………………(3分)

當 時， 也滿足上式 ……………………………(4分)

∴ ……………………………(5分)

(2)由(1)得, , ……………………………(6分)

所以 ………①

∴ ………② ……………………………(7分)

①-②，得

……………………………(9分)

依題意 ，即 即 成立， ……………………………(10分)

又當 時, ,

當 時, . ……………………………(11分)

故使 成立的正整數(shù) 的最小值為5. ……………………………(12分)

22、解：(1)設第n年開始獲利，獲利為y萬元，

由題意知，n年共收益30n萬元，每年的費用是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

故n年的總費用為 . ……………………………(2分)

∴獲利為 ……………………………(4分)

由 即 解得 ……………………………(5分)

∵n∈N*，∴n=4時，即第4年開始獲利. ……………………………(6分)

(2)方案一：n年內年平均獲利為 .

由于 ，當且僅當n=9時取“=”號.

∴ (萬元).

即前9年年平均收益最大，此時總收益為12×9+46=154(萬元).……………………………(9分)

方案二：總純收入獲利 .

∴ 當n=15時， 取最大值144，此時總收益為144+10=154(萬元).

……………………………(11分)

∵兩種方案獲利相等，但方案一中n=9，所需的時間短，

∴方案一較合算. ……………………………(12分)

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