齊次和非齊次的區(qū)別 非齊次線性方程組解如何判別

常數(shù)項(xiàng)不同：齊次線性方程組的常數(shù)項(xiàng)全部為零，非齊次方程組的常數(shù)項(xiàng)不全為零。表達(dá)式不同：齊次線性方程組表達(dá)式 ：Ax=0；非齊次方程組程度常數(shù)項(xiàng)不全為零： Ax=b。如果系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，方程組無(wú)解；如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組有解。

1、常數(shù)項(xiàng)不同：

齊次線性方程組的常數(shù)項(xiàng)全部為零，非齊次方程組的常數(shù)項(xiàng)不全為零。

2、表達(dá)式不同：

齊次線性方程組表達(dá)式 ：Ax=0；非齊次方程組程度常數(shù)項(xiàng)不全為零： Ax=b。

如果系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，方程組無(wú)解；如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組有解。在有解的情況下，如果系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，非齊次線性方程組有唯一解。

如果系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，非齊次線性方程組有無(wú)窮多解，如果有無(wú)窮多解，先求所對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，再求出非齊次線性方程組的一個(gè)特解。

由此可知：如果非齊次線性方程組有無(wú)窮多解，則其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解（通解）可表示為：對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的特解。

（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣；

（2）若r(A)=r=n（未知量的個(gè)數(shù)），則原方程組僅有零解，即x=0，求解結(jié)束；若r(A)=r

（3）繼續(xù)將系數(shù)矩陣A化為行最簡(jiǎn)形矩陣，并寫出同解方程組；

（4）選取合適的自由未知量，并取相應(yīng)的基本向量組，代入同解方程組，得到原方程組的基礎(chǔ)解系，進(jìn)而寫出通解。