素數(shù)的定義 素數(shù)有關知識點

素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)(prime number)，有無限個。質(zhì)數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)。在一個大于1的數(shù)a和它的2倍之間必存在至少一個素數(shù)。一個偶數(shù)可以寫成兩個合數(shù)之和，其中每一個合數(shù)都最多只有9個質(zhì)因數(shù)。

質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)。一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。

質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn。如果 為素數(shù)，則 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數(shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因為任何一個合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設的素數(shù)集合中。因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。所以原先的假設不成立。也就是說，素數(shù)有無窮多個。

1、素性檢測一般用于數(shù)學或者加密學領域。用一定的算法來確定輸入數(shù)是否是素數(shù)。不同于整數(shù)分解，素性測試一般不能得到輸入數(shù)的素數(shù)因子，只說明輸入數(shù)是否是素數(shù)。大整數(shù)的分解是一個計算難題，而素性測試是相對更為容易(其運行時間是輸入數(shù)字大小的多項式關系)。

2、素性測試通常是概率測試(不能給出**正確結(jié)果)。這些測試使用除輸入數(shù)之外，從一些樣本空間隨機出去的數(shù);通常，隨機素性測試絕不會把素數(shù)誤判為合數(shù)，但它有可能為把一個合數(shù)誤判為素數(shù)。

3、數(shù)被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中(實為尋找素數(shù)的過程)，將會因為找質(zhì)數(shù)的過程(分解質(zhì)因數(shù))過久，使即使取得信息也會無意義。