2022齊齊哈爾中考數(shù)學(xué)壓軸題分析1：矩形中點與折疊問題

本題選自2022年齊齊哈爾中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題，以矩形為背景，考查中點、軸對稱和旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容，主要以線段的數(shù)量關(guān)系為主。難度不大。是一道探究型題目，值得看看。

【題目】

（2022齊齊哈爾）綜合與實踐

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)，數(shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的樂趣．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：如圖①，在矩形中，點、、分別為邊、、的中點，連接、，為的中點，連接．將繞點旋轉(zhuǎn)，線段、和的位置和長度也隨之變化．當(dāng)繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，請解決下列問題：

（1）圖②中，，此時點落在的延長線上，點落在線段上，連接，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）圖③中，，，則 ；

（3）當(dāng)，時， ．剪一剪、折一折：（4）在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線，并沿對角線剪開，得（如圖④．點、分別在、上，連接，將沿翻折，使點的對應(yīng)點落在的延長線上，若平分，則長為 ．

【分析】

（1）如下圖，根據(jù)全等與中位線定理可以得到GH=1/2AF=1/2CE。

（2）本小題與上一題類似，只是把正方形改成了矩形那么方法還是類似，只是全等邊成了相似而已。

易得△ABF∽△CBE，那么可以得到AF/CE=2/3，由于GH=1/2AF，所以可以得到GH=1/3CE，也就是說比值為1/3。

（3）當(dāng)AB=m，BC=n時，結(jié)論是類似的，根據(jù)相似可以得到GH=1/2AF=CE·m/2n，那么比值就是m/2n。

（4）根據(jù)折疊與平分，可以得到∠APM=∠NPM=∠C，那么就可以得到PM⊥AM，還可以得到△AMP∽△ABC。

已知AB=2，BC=3，那么就可以得到AC=√13。

設(shè)CM=x，則PM=x，AM=√13-x，

那么根據(jù)相似可以得到AM/AB=PM/CB，

即(√13-x)/2=x/3，解得x=3√13/5。結(jié)論就出來了。

本題主要考查勾股定理與相似。

【總結(jié)】

解題關(guān)鍵是抓住問題，以及題目的條件，兩兩結(jié)合進行求解。

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