2022百色中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：兩動(dòng)一定等腰三角形的存在性問(wèn)題

本題考查等腰三角形的存在性問(wèn)題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)，難度較小。本題在幾何題中也經(jīng)常出現(xiàn)。大家可以參考往期的文章。

非主流的“一定兩動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題

【題目】

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（2022百色）已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：∠BOF＝∠BDF；

（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．

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【分析】

（1）待定系數(shù)法，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到拋物線的表達(dá)式。

所以拋物線的表達(dá)式為y＝-x+2x+3；

（2）本題屬于幾何題，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到結(jié)論。

如圖，易得△BOF≌△BOD（SAS），進(jìn)而得到∠BOF＝∠BDF。

本題與甘肅中考數(shù)學(xué)壓軸題有類似的地方。

2022甘肅中考數(shù)學(xué)壓軸題分析1：正方形

（3）本小題為本題的壓軸一問(wèn)，需要進(jìn)行分類討論。

題目已知點(diǎn)M在射線BD上運(yùn)動(dòng)，使得△MDF為等腰三角形�？梢苑譃辄c(diǎn)M在線段BD上或在點(diǎn)D的右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論。

①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，易得∠MDF＞90°，因此只能使得MD=DF，只有一種情況。

當(dāng)DM=DF時(shí)，可以得到∠DMF=∠DFM，無(wú)法確定線段的長(zhǎng)度。

此時(shí)可以設(shè)∠DMF=∠DFM=x，

那么就可以得到∠BFD=90°-x/2，∠BDF=2x。

那么在△BDF中，得

45°+2x+90°-x/2=180°，

此時(shí)x=30°。

那么就可以得到△OBM為含30°角的直角三角形，

BM=√3OB=3√3，

那么ME=3√3-2。

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)BD之間時(shí)，與①類似。

由于∠DMF＞90°，那么也只有一種情況。

設(shè)∠MDF=x，則∠BOF=∠MFD=x，

∠BFM=∠BOF-∠OBF=x+45°，

易得∠BMF=2x，

那么就可以得到∠BFM=180°-∠MBF-∠BMF

=180°-45°-2x

=135°-2x

所以可以得到x+45°=135°-2x，

解得x=30°。

那么∠BOF=30°，

OB=3，

那么可以得到BM=3/√3=√3。

則ME=BE-BM=2-√3。

綜上所述，ME的長(zhǎng)為3√3-2或2-√3。

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當(dāng)然，本題還可以通過(guò)設(shè)直線解析式用坐標(biāo)的方式求解。

【方法二】——函數(shù)法

設(shè)直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為。易得直線的解析式為。與的解析式聯(lián)立，得

，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為。①當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，，則，求得。則。①當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，，則，求得。則。綜上所述，求得的長(zhǎng)為或。

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【總結(jié)】

本題的等腰三角形存在性問(wèn)題，屬于兩動(dòng)一定類型，相比函數(shù)法，從角度方面入手比較簡(jiǎn)單。

《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析》中有相關(guān)的章節(jié)介紹。