2022蘭州中考數(shù)學(xué)分析2：正方形有關(guān)的模型3

本題選自2022年蘭州中考數(shù)學(xué)壓軸題，以正方形為背景，原題來源人教版八年下課本的復(fù)習(xí)題。本題的模型近兩年出現(xiàn)的特別多，值得關(guān)注。

一道課本習(xí)題解法大全

一道課本習(xí)題的變式題

【題目】

（2022蘭州）綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

【思考嘗試】

（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．

【實踐探究】

（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．

【拓展遷移】

（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．

【分析】

（1）AE與EP相等，即△AEP為等腰直角三角形。證明方法根據(jù)提示即可。

得到△MBE為等腰指教三角形，再根據(jù)ASA得到△AME≌△ECP。

無論點E是否為中點，結(jié)論都成立。

（2）本小題修改了條件把AE=EP這個結(jié)論改為條件，把CP這個角的平分線改為結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)∠DCP為45°。

作法與上題一樣，在AB上取一點N，使得BN=BE，連接EN。

得到△BNE為等腰直角三角形，然后再得到△ANE≌△ECP（SAS）。

（3）在（2）的結(jié)論下，可以得到點P在正方形的外角平分線上運動，即點P的軌跡線段，點P為定點，點A、D為動點，使得△ADP的周長最小屬于將軍飲馬問題，作對稱即可解決。

作點D關(guān)于CP的對稱點D′，連接AD′與CP交于點P′。

此時A、P′、D′三點共線，△ADP的周長為AD′+AD的值，為4＋4√5。

【總結(jié)】

本題解法多樣，具體可以看前面的兩個鏈接。

【母題溯源】

人教版數(shù)學(xué)·八年下·第十八章·復(fù)習(xí)題·第14題·P69

題目的結(jié)論把證明AE=EF，變?yōu)榍驝F與BE的關(guān)系，本題的關(guān)鍵還是在于證明AE=EF．

《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析·解答題》第140頁還有更多與正方形有關(guān)的模型介紹：