雞兔同籠中究竟藏著多少秘密？

前一段時間大火的話劇《雞兔同籠》用一道女兒解不出來的數(shù)學(xué)題，帶出了父親和女兒各自生活的困境。

那這道難倒過所有小學(xué)生的題目它到底有什么魅力呢？

由古論今

雞兔同籠是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的題目，書中是這樣描述的：

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這四句話的意思是：

有若干只雞兔在同一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？

拿到問題我們需要梳理一下數(shù)量關(guān)系，兔子和雞在一個籠子中，那么總共的只數(shù)=雞的只數(shù)+兔子的只數(shù)，其中雞有2條腿，兔子有4條腿，那么總的腿數(shù)=雞的只數(shù)x2+兔的只數(shù)x4，也就是雞和兔子兩部分相加來計算只數(shù)或者腳數(shù)。

第一次的想法

當(dāng)我們拿到問題不知道該怎么辦的時候，就可以先找一個數(shù)去試一試，比如當(dāng)雞有1只的時候，兔子就有34只，那么雞的腿數(shù)就有1x2=2條，兔的腿數(shù)就有34x4=136條，明顯比我們的94條要多，那就說明我們猜想的不對，如果繼續(xù)猜想，則需要列一個表格進行梳理，如下：

通過上面的列表可以直觀的看出雞的只數(shù)每增加1只，總腿數(shù)就會減少2條，最后達(dá)到我們想要的結(jié)果。

但如果每道題都這樣列表也會有些困難，那么我們不妨再來試試畫示意圖的方法：

根據(jù)示意圖我們可以清楚的看出，整個大長方形的面積我們可以用35x4來表示，也就是140條腿，去掉其中兩個灰色長方形表示的94條腿，則剩下的就是空白部分長方形的面積也就是46條，長方形的寬我們知道是相差的2條腿，則長方形的長就是46÷2=23只，也就是雞的只數(shù)，則兔的只數(shù)就是35-23=12只。

思路的進階

而最近網(wǎng)上流行的：小兔抬腿法和小雞拄拐法則又是什么意思呢？

假設(shè)我們的雞和兔子訓(xùn)練有素，吹一聲哨子，命令所有的兔子把兩條前腿抬起來，現(xiàn)在所有的動物都變成了2條腿，吹哨人就可以輕松的數(shù)出來，35只動物一共就有35x2=70條腿，那比我們原來的94條腿少了94-70=24條，為什么會少呢？原來是所有的兔子都把前腿抬了起來，一只兔子抬起來了2條前腿，2只兔子就抬起來了4條前腿，6只兔子就抬起來了12條前腿，那么幾只兔子就抬起來24條腿呢？24÷2=12只。

當(dāng)然我們也可以給每一只小雞都發(fā)一副拐杖，也就是幫助小雞增加了2條腿，那么數(shù)數(shù)拐杖和腿一共是35x4=140條，比我們原來的94條腿多了46條，為什么會多出來呢？原來是一只小雞多了兩根拐杖，那么幾只小雞就多出來這46條呢？46÷2=23只。

回顧一下這兩種思路一個是把兔子當(dāng)成和小雞一樣腿數(shù)的動物，一個是把小雞當(dāng)成和兔子一樣腿數(shù)的動物，其實運用的都是我們假設(shè)的方法，把所有的動物都看成一種來進行思考，再去對比能夠計算出來的腿數(shù)與題目中所給腿數(shù)相比較，看看差是多少，每差2只腿相差出來就是1只沒有假設(shè)的動物。

概括起來的數(shù)量關(guān)系就是這樣：

兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)x雞兔總數(shù)）÷（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）

雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)x雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)）÷（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）

當(dāng)然這道題目的本質(zhì)是二元一次方程，由于小學(xué)課標(biāo)所限，所以在利用方程的思想上也有所不同，根據(jù)我們開頭分析的兩個數(shù)量關(guān)系，則可以一個用來設(shè)未知數(shù)，另一個用來列方程：

總共的只數(shù)=雞的只數(shù)+兔子的只數(shù)，如果把雞的只數(shù)設(shè)為x只，那么兔子的只數(shù)則為（35-x）只。

再根據(jù)總的腿數(shù)=雞的只數(shù)x2+兔的只數(shù)x4，則可以列出方程

2x+（35-x）x4=94

x=23

總結(jié)一下今天的解法，我們用到了“列表法”、“示意圖法“、“假設(shè)法“和”方程法“。雞兔同籠可以成為典型的一題多解的題目。

如果我們的學(xué)習(xí)只是一味的記憶和套用公式，那就違背了其中的本質(zhì)，重要的價值在于通過多種解題方法去探索題目的本質(zhì)，以及盡可能去關(guān)聯(lián)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，逐漸養(yǎng)成能力去思考自己辦法，有了這種思維即使走出學(xué)校，無論遇到什么樣的難題，都可以從多個角度去理性思考，這才是可以通過一個題目的策略領(lǐng)會其中的真正奧義，終生受益的思維方式。

藏在雞兔同籠題目中的算法還有很多種，你還能想出其他的方法嗎？

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教師簡介

教師簡介：韓肖男老師

新東方優(yōu)能一對一小學(xué)數(shù)學(xué)教師。

通過生動有趣的課堂、活潑快樂的氛圍，帶領(lǐng)學(xué)生們快樂學(xué)習(xí)和提分的同時，真正從生活中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)思維。