數(shù)學科學研究所創(chuàng)始所長陳秀雄在偏微分方程和復幾何領(lǐng)域取得重要突破

上科大數(shù)學科學研究所創(chuàng)始所長陳秀雄在偏微分方程和復幾何領(lǐng)域又取得重大突破。日前，他與合作者美國石溪大學程經(jīng)睿在國際著名期刊《美國數(shù)學會志》（Journal of The American Mathematical Society ）發(fā)表兩篇重要研究論文。他們的研究給出了關(guān)于一類四階完全非線性橢圓方程的一系列先驗估計，進而解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題，包括長期未決的強制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想。審稿人認為，這一成果“將注定成為幾何和分析兩個領(lǐng)域經(jīng)典”。法國科學院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認為，這是“對當代復微分幾何一個極其重要的貢獻”的工作。

凱勒流形上常標量曲率度量的存在性是過去六十多年來幾何中最核心的問題之一，它的研究吸引了幾代杰出的幾何分析學家們。菲爾茲獎得主西蒙·唐納森解釋道：“這一問題甚至可以追溯到19世紀關(guān)于黎曼曲面的研究。20 世紀下半葉陸續(xù)出現(xiàn)了頗負盛名的成果，丘成桐對卡拉比猜想的證明則是鼎鼎有名的開山之作，這個關(guān)于凱勒-愛因斯坦度量（常標量曲率的特殊情形）的存在性問題可化為廣義相對論中愛因斯坦方程的解的研究�！鄙鲜兰o50年代，為了尋找凱勒流形上給定凱勒類中的典范度量，卡拉比引進了標量曲率平方的積分并研究其變分問題。這一積分后來被稱作卡拉比能量，其臨界點則被叫做卡拉比極值度量（極值度量）。常標量曲率度量是一類特殊的極值度量。關(guān)于常標量曲率度量的存在性，有三個著名的猜想，即穩(wěn)定性猜想、強制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想。

穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由數(shù)學家丘成桐于上世紀九十年代提出。更一般的穩(wěn)定性猜想在文獻中被稱為丘-田-唐納森猜想。強制性猜想由田剛、陳秀雄等人分別在不同的背景下提出。測地穩(wěn)定性猜想由唐納森于1996年提出，根扎于其凱勒幾何研究綱領(lǐng)。

常標量曲率度量的存在性可轉(zhuǎn)化成一類四階完全非線性橢圓方程解的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強制性或測地穩(wěn)定性的假設(shè)下證明這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難。“在此之前除了些零星的結(jié)果外，在很大程度上似乎遙不可及。”唐納森說，“陳秀雄和程經(jīng)睿的工作根本地改變了這一面貌。他們最先給出了關(guān)于這類四階方程的一系列精彩而巧妙的先驗估計，這是證明解的存在性的關(guān)鍵步驟�！泵绹�科學院院士布萊恩·勞森評價 “這個估計前所未見，乃絕佳力作”。他特別指出，“在分析方面，陳和程工作的另一個非凡成就是證明了弱解的光滑性，域內(nèi)專家本來的共識是這樣的證明得等上幾十年。”

強制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想的證明之外，陳-程這兩篇文章中還有許多其它突破性的結(jié)果。尤其需要指出的是，他們給出了環(huán)對稱凱勒流形上丘-田-唐納森穩(wěn)定性猜想的證明，即將唐納森在環(huán)對稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維。這是滿足某種拓撲條件的凱勒流形上丘-田-唐納森穩(wěn)定性猜想的第一個一般情形的證明�！斑@些卓越的工作應(yīng)該會在數(shù)學的其它領(lǐng)域包括與復微分幾何相去甚遠的領(lǐng)域產(chǎn)生影響�！泵绹鴶�(shù)學會會士克勞德·勒布潤說。

陳秀雄近年來力作連連。除了這里描述的成就，他與王兵合作證明了法諾凱勒里奇流極限的弱緊性,繼而與孫崧和王兵合作證明了極限的唯一性，并給出法諾流形上穩(wěn)定性猜想的一個基于凱勒里奇流的新證明。值得一提的是，陳教授這次的合作者程經(jīng)睿曾多次訪問上科大數(shù)學科學研究所，在攻讀博士研究生期間完成了這項工作。孫崧、王兵等多位合作者也先后到數(shù)學所訪問交流。

論文鏈接（點擊閱讀原文獲取更多內(nèi)容）：

https://www.網(wǎng)址未加載/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00967-0/

https://www.網(wǎng)址未加載/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00966-9/

攝 影 陶冬青

排 版 王澤家

編 輯 高 瑄

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