2022年天津市高考數(shù)學沖刺試卷及答案解析

2022年天津市高考數(shù)學沖刺試卷及答案解析

一、單選題

1．設全集，集合，，則等于（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先計算，再與集合進行 交集運算即可求解.

【詳解】因為，，所以，

所以，

故選：B.

2．設，則“”是“”的

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由，解得，由，可知“”是“”的充分不必要條件，選A.

3．函數(shù)的圖像大致為

A．B．

C．D．

【答案】D

【詳解】試題分析：因為，所以排除A,C,當函數(shù)在軸右側靠近原點的一個較小區(qū)間時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故選D.

【解析】函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)．

4．對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，測量其凈重(單位：克)，將所得數(shù)據(jù)分為5組：，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（ ）

A．90B．75C．60D．45

【答案】A

【分析】根據(jù)題意樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為0.3，進而得樣本容量為120，再計算樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)即可.

【詳解】由題知：樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為，

因為樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，

所以樣本容量為，

又因為樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，

所以樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為.

故選：A

5．已知函數(shù)，且，，，則的大小關系為（ ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】先分析的奇偶性，然后分析的單調(diào)性，再根據(jù)自變量的大小以及正負比較出的大小關系.

【詳解】因為，所以定義域為且關于原點對稱，

又因為，所以為偶函數(shù)；

當時，因為、均單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，

又因為，，，

所以，所以，所以，

故選：D.

【點睛】思路點睛：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大小關系的一般步驟：

（1）先分析函數(shù)的奇偶性，由以及定義域來確定；

（2）再分析函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)解析式或者單調(diào)性定義進行判斷；

（3）結合奇偶性將待比較的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間，再結合單調(diào)性即可比較出大小.

6．球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】采用補形的方法，將正四面體補充為正方體，由此分析出球與正方體的關系，再根據(jù)正方體的棱長求解出球的表面積.

【詳解】將正四面體補形為一個正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的面對角線，

因為球與正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個面都相切，所以所求的球為正方體的內(nèi)切球，

又因為正方體的棱長為，所以球的半徑，

所以球的表面積為：，

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于找到正四面體和正方體之間的聯(lián)系，將原本復雜的正四面體的棱切球問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的正方體的內(nèi)切球問題.

7．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A且離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（ ）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】先求出拋物線的方程，從而得到的值，根據(jù)離心率得到漸近線方程，由漸近線與直線垂直得到的值，從而可得雙曲線的方程.

【詳解】因為到其焦點的距離為5，故，故，

故拋物線的方程為，故.

因為離心率為，故，故，

根據(jù)拋物線和雙曲線的對稱性，不妨設在第一象限，則，

則與漸近線垂直，故，故，故，

故雙曲線方程為：.

故選：D.

【點睛】方法點睛：（1）上一點到其焦點的距離為，解題中注意利用這個結論.

（2）如果直線與直線垂直，那么.

8．已知函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關于函數(shù)的結論，其中所有正確結論的序號是（ ）

①函數(shù)是奇函數(shù)

②的圖象關于直線對稱

③在上是增函數(shù)

④當時，函數(shù)的值域是

A．①③B．③④C．②D．②③④

【答案】C

【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡，然后利用已知條件求解出的值，再根據(jù)圖象的變換求解出的解析式；①根據(jù)解析式判斷奇偶性；②根據(jù)的值判斷對稱性；③采用整體替換的方法判斷單調(diào)性；④利用換元法的思想求解出值域.

【詳解】因為，又的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，

所以，所以，所以，

所以向左平移個單位得到，

橫坐標伸長到原來倍得到，

①為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；

②，所以是的一條對稱軸，故正確；

③因為，所以，

又因為在上先增后減，所以在上不是增函數(shù)，故錯誤；

④當時，，

所以，此時；，此時，

所以的值域為，故錯誤；

故選：C.

【點睛】思路點睛：求解形如的函數(shù)在指定區(qū)間上的值域或最值的一般步驟如下：

（1）先確定這個整體的范圍；

（2）分析在（1）中范圍下的取值情況；

（3）根據(jù)取值情況確定出值域或最值，并分析對應的的取值.

9．已知函數(shù)對，總有，使成立，則的范圍是（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件先分析得到，然后分析的幾何意義，通過分析與在橫坐標相等時，縱坐標豎直距離取最大值的最小值時對應的的取值，由此確定出的解析式，同時求解出，由此的范圍可知.

【詳解】由題意可知：，成立，即，

又對，，所以，

又可看作與在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離，

由，，可取，所以的直線方程為，

設與平行且與相切于，所以，所以，所以切線為，

當與平行且與兩條直線的距離相等時，即恰好在的中間，

此時與在縱坐標的豎直距離中取得最大值中的最小值，

此時，則 ，

又因為，所以，所以，此時或或，

所以的范圍是，

故選：B.

【點睛】結論點睛：的幾何意義：當與在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離.

二、填空題

10．已知，i是虛數(shù)單位，若（1i）（1bi）=a，則的值為_______.

【答案】2

【詳解】試題分析：由，可得，所以，，故答案為2．

【解析】復數(shù)相等

【名師點睛】本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如

. 其次要熟悉復數(shù)的相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、共軛復數(shù)為.

11．的展開式的常數(shù)項為____________．

【答案】

【詳解】試題分析：由題意得的展開式中的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為．

【解析】二項式定理．

12．設直線與圓相交于，兩點，若，則__________．

【答案】

【分析】圓的圓心坐標為，半徑為，利用圓的弦長公式，求出值．

【詳解】解：圓的圓心坐標為，半徑為，

直線與圓相交于，兩點，且，

圓心到直線的距離，

即，

解得：，

解得，

故答案為：．

【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題.

13．甲箱子里裝有3個白球2個黑球，乙箱子里裝有1個白球2個黑球，這些球顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，則一次游戲摸出的白球不少于2個的概率為___________.

【答案】

【分析】根據(jù)對立事件的概率公式進行求解即可.

【詳解】一次游戲摸出1個白球的概率為：，

一次游戲摸出0個白球的概率為：，

因此一次游戲摸出0個白球或1個白球的概率為：，

所以一次游戲摸出的白球不少于2個的概率為：，

故答案為：

14．已知，且，則的最小值為___________.

【答案】

【分析】由題意可得，結合和均值不等式可得的最小值，注意等號成立的條件.

【詳解】由，且，可得：

，

結合可得：

，

當且僅當，即時等號成立.

【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．

15．平行四邊形中，，為上的動點，，，則的最小值為___________.

【答案】

【分析】選取為基底，由已知計算可得關系，再設，可表示為的函數(shù)，從而求得最小值．

【詳解】設，則，

則，

又因為得，則，即得

解得，，

設

則

因為，所以

當時，取最小值

故答案為：．

【點睛】關鍵點點睛：本題解題時選取兩個向量為基底，用基底表示所求向量是解題的關鍵．

三、解答題

16．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.

（1）求；

（2）若，且的面積為，求及.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將原式化簡，由此得到的倍數(shù)關系，再結合正弦定理即可得到的值；

（2）先根據(jù)（1）的結果求解出的值，然后結合兩角和的正弦公式和二倍角公式求解出的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解出的值，結合余弦定理可求解出的值.

【詳解】（1）因為，

所以由正弦定理可得，

即，

而，所以，故.

（2）由（1）知，則，所以，

所以；

又的面積為，則，，

由余弦定理得，解得.

【點睛】易錯點睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事項：

（1）注意隱含條件“”的使用；

（2）利用正弦定理進行邊角互化時，要注意結合條件判斷將邊轉(zhuǎn)化為角的形式還是將角轉(zhuǎn)化為邊的形式.

17．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，是棱PD的中點，且，．

（I）求證：； （Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若是上一點，且直線與平面成角的正弦值為，求的值．

【答案】（I）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．

【詳解】試題分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空間直角坐標系，求出兩個法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一個法向量，求出二面角；(III)設，平面MAB的法向量，解得答案．

試題解析：

證明：(I)連結AC．因為為在中，

，，

所以，所以．

因為AB//CD，所以．

又因為地面ABCD，所以．因為，

所以平面PAC．

(II)如圖建立空間直角坐標系，則．

因為M是棱PD的中點，所以．

所以，． 設為平面MAB的法向量，

所以，即，令，則，

所以平面MAB的法向量．因為平面ABCD，

所以是平面ABC的一個法向量．

所以．因為二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為．

(III)因為N是棱AB上一點，所以設，．

設直線CN與平面MAB所成角為，

因為平面MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．

18．橢圓的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意一點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為，試證明：為定值.

【答案】(1) +y2=1 (2)見解析

【詳解】（1），

由（1)知A(-2，0),B(2，0),D(0，1),則直線AD方程為：；直線BP方程：，聯(lián)立得直線BP和橢圓聯(lián)立方程組解得P點坐標為，因為D,N（x,0),P三點共線,所以有：

【解析】本題考查橢圓的標準方程、簡單的幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓相交問題，定值問題，考查綜合解答問題的能力.

19．設是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項，的前項和為，.

（1）求和的通項公式；

（2）設，數(shù)列的前項和為，使為整數(shù)的稱為“優(yōu)數(shù)”，求區(qū)間上所有“優(yōu)數(shù)”之和.

（3）求.

【答案】（1），；（2）2036；（3）.

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出式子求出的公差即可得出通項公式；利用可得為等比數(shù)列，即得通項公式；

（2）求出，可得滿足為整數(shù)的形成數(shù)列，可得出，求出前10項和即可；

（3）可得，則所求即為的前n項和，利用錯位相減法即可求出.

【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，

因為，是和的等比中項，

所以，即，

解得，因為是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，

所以，故，

因為，所以，

兩式相減得：，當時，，，

是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，.

（2），

，

要使為整數(shù)，則應滿足（），

即滿足為整數(shù)的形成數(shù)列，

由題可得，解得，

則滿足條件的“優(yōu)數(shù)”之和為

；

（3）設，

則即為數(shù)列的前項和，設為，

則，

∴，

兩式相減得：

∴，∴.

【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

（2）對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

（3）對于結構，利用分組求和法；

（4）對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.

20．已知，

（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；

（2）對，有恒成立，求的最大整數(shù)解；

（3）令，若有兩個零點分別為，且為的唯一的極值點，求證：.

【答案】（1）切線方程為；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）的最大整數(shù)解為（3）證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出，即可得到切線方程，解得到單調(diào)遞增區(qū)間，解得到單調(diào)遞減區(qū)間，需注意在定義域范圍內(nèi)；

（2）等價于，求導分析的單調(diào)性，即可求出的最大整數(shù)解；

（3）由，求出導函數(shù)分析其極值點與單調(diào)性，構造函數(shù)即可證明；

【詳解】解：（1）

所以定義域為

；

；

所以切線方程為；

，

令解得

令解得

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）等價于；

，

記，，所以為上的遞增函數(shù)，

且，，所以，使得

即，

所以在上遞減，在上遞增，

且；

所以的最大整數(shù)解為.

（3），得，

當，，，；

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

而要使有兩個零點，要滿足，

即；

因為，，令，

由，，

即：，

而要證，

只需證，

即證：

即：由，只需證：，

令，則

令，則

故在上遞增，；

故在上遞增，；

.

【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，最值以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合性比較強，屬于難題.

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