冪等矩陣的特征值

0或者1。冪等矩陣的特征值只可能是0，1。若A為方陣，且A=A，則A稱(chēng)為冪等矩陣。例如，某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實(shí)際上，由Jordan標(biāo)準(zhǔn)型易知，所有冪等矩陣都相似于對(duì)角元全為0或1的對(duì)角陣。

冪等矩陣的主要性質(zhì)：

冪等矩陣的特征值只可能是0，1；

冪等矩陣可對(duì)角化；

冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；

可逆的冪等矩陣為E；

方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；

冪等矩陣A滿(mǎn)足：A(E-A)=(E-A)A=0；

冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；

A的核N(A)等于(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考慮冪等矩陣運(yùn)算后仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運(yùn)算：

設(shè)A，A都是冪等矩陣，則(A+A)為冪等矩陣的充分必要條件為：A·A=A·A=0，且有：R(A+A)=R(A)⊕R(A)；N(A+A)=N(A)∩N(A)；

設(shè)A，A都是冪等矩陣，則(A-A)為冪等矩陣的充分必要條件為：A·A=A·A=A，且有：R(A-A)=R(A)∩N(A)；N(A-A)=N(A)⊕R(A)；

設(shè)A，A都是冪等矩陣，若A·A=A·A，則A·A為冪等矩陣，且有：R(A·A)=R(A)∩R(A)；N(A·A)=N(A)+N(A)。