兩個正交矩陣的乘積是正交矩陣嗎
高中數(shù)學(xué)知識點
2022/2/14
兩個n階正交矩陣的乘積是正交矩陣。如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。正交矩陣的最基本置換是換位，通過交換單位矩陣的兩行得到。
正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，所以對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。
在矩陣論中，實數(shù)正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。
方陣A正交的充要條件是A的行（列）向量組是單位正交向量組；
方陣A正交的充要條件是A的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；
A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
A的列向量組也是正交單位向量組。
正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。
