冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是什么

冪級(jí)數(shù)是微積分中十分重要的內(nèi)容之一，而求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是一類(lèi)難度較高、技巧性較強(qiáng)的問(wèn)題。求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，常通過(guò)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算把待求級(jí)數(shù)化為易求和的級(jí)數(shù)，求出轉(zhuǎn)化后的冪級(jí)數(shù)和函數(shù)后，再利用上述運(yùn)算的逆運(yùn)算，求出待求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

以下總結(jié)了冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)問(wèn)題的四種常見(jiàn)類(lèi)型：

一、通過(guò)恒等變形化為常用級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)S(x)計(jì)算冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，首先要記牢常用級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再次基礎(chǔ)上借助四則運(yùn)算、變量代換、拆項(xiàng)、分解、標(biāo)號(hào)代換等恒等變形手段將待求級(jí)數(shù)化為常用級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式來(lái)求和函數(shù)。

二、求通項(xiàng)為P(n)x^n的和函數(shù)，其中P(n)為n的多項(xiàng)式解法1、用先逐項(xiàng)積分，再逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法求其和函數(shù)。積分總是從收斂中心到x積分。

三、求通項(xiàng)為x^n/P(n)的和函數(shù)，其中P(n)為n的多項(xiàng)式解法1、對(duì)級(jí)數(shù)先逐項(xiàng)求導(dǎo)，再逐項(xiàng)積分求其和函數(shù)，積分時(shí)不要漏掉S(0)的值。解法2、也可化為幾何級(jí)數(shù)的和函數(shù)的積分求之。

四、含階乘因子的冪級(jí)數(shù)（1）分解法：將冪級(jí)數(shù)一般項(xiàng)進(jìn)行分解等恒等變形，利用e^x、sinx、cosx的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求其和函數(shù)。一般分母的階乘為n!的冪級(jí)數(shù)常用e^x的展開(kāi)式來(lái)求其和函數(shù)，分母的階乘為(2n+1)!或(2n)!的冪級(jí)數(shù)常用sinx、cosx的展開(kāi)式來(lái)求其和函數(shù)。