空間共面向量定理和推論

一、空間共面向量定理和推論

1、共線向量定理

（1）定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b(oldsymbol b$≠0)，$oldsymbol a∥oldsymbol b$的充要條件是存在實(shí)數(shù)$λ$，使$oldsymbol a=λoldsymbol b$。

（2）推論：如果$l$為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)$A$且平行于已知非零向量$oldsymbol a$的直線，那么對(duì)空間任一點(diǎn)$O$，點(diǎn)$P$在直線$l$上的充要條件是存在實(shí)數(shù)$t$，使$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OA}+$$toldsymbol a$ ①。其中向量$oldsymbol a$叫做直線$l$的方向向量。

在$l$上取$overrightarrow{AB}=oldsymbol a$，則①式可化為$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OA}+$$toverrightarrow{AB}$或$overrightarrow{OP}=$$(1-t)overrightarrow{OA}+$$toverrightarrow{OB}$②。

當(dāng)$t$=$ rac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)$P$是線段$AB$的中點(diǎn)，則$overrightarrow{OP}=$$ rac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})$ ③。

①②式都叫做空間直線的向量表示，③式是線段$AB$的中點(diǎn)公式。

2、共面向量定理

（1）定理：如果兩個(gè)向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$不共線，那么向量$oldsymbol p$與向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)$(x,y)$，使$oldsymbol p=$$xoldsymbol a+$$yoldsymbol b$。

（2）推論1：空間一點(diǎn)$P$位于平面$MAB$內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)$(x,y)$，使$overrightarrow{MP}=$$xoverrightarrow{MA}+$$yoverrightarrow{MB}$（或?qū)�空間一點(diǎn)$O$，有$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OM}+$$xoverrightarrow{MA}+$$yoverrightarrow{MB}$）。

（3）推論2：空間一點(diǎn)$P$位于平面$MAB$內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組${x,y,z}$，對(duì)空間任一點(diǎn)$O$，有$overrightarrow{OP}=$$xoverrightarrow{OA}+$$yoverrightarrow{OB}+$$zoverrightarrow{OM}$，其中$x+y+z=1$。

3、空間向量基本定理

（1）定理：如果三個(gè)向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$不共面，那么對(duì)空間任一向量$oldsymbol p$，存在有序?qū)崝?shù)組${x,y,z}$，使得$oldsymbol p=$$xoldsymbol a+$$yoldsymbol b+$$oldsymbol zc$。

其中${a,b,c}$叫做空間的一個(gè)基底，$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$都叫做基向量。

（2）推論：設(shè)$O$，$A$，$B$，$C$，是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)$P$，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組${x,y,z}$，使得$overrightarrow{OP}=$$xoverrightarrow{OA}+$$yoverrightarrow{OB}+$$zoverrightarrow{OC}$。

二、空間共面向量定理的相關(guān)例題

若$overrightarrow{OA}$、$overrightarrow{OB}$、$overrightarrow{OC}$是空間不共面的三個(gè)向量，則與向量$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$構(gòu)成不共面的向量是___

A．$overrightarrow{BA}$ B．$overrightarrow{OA}$ C．$overrightarrow{OB}$ D．$overrightarrow{OC}$

答案：D

解析：由題意可知向量$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$是平面$AOB$內(nèi)的向量，而$overrightarrow{OA}$、$overrightarrow{OB}$、$overrightarrow{BA}$都在平面$AOB$內(nèi)，顯然是共面向量，只有$overrightarrow{OC}$與向量$overrightarrow{OA}+$$overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-$$overrightarrow{OB}$構(gòu)成不共面的向量。故選D。