平面向量基本定理和向量共線定理

一、平面向量基本定理和向量共線定理

1、向量共線定理

向量$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$與$oldsymbol b$共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)$λ$，使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

注：（1）定理中$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$oldsymbol a=oldsymbol b=oldsymbol 0$，則實數(shù)$λ$可以是任意實數(shù)；若$oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol b≠oldsymbol 0$，則不存在實數(shù)$λ$，使得$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

（2）對任意兩個向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，若存在不全為0的實數(shù)對（$λ$，$μ$），使$λoldsymbol a+μoldsymbol b=0$，則$oldsymbol a$與$oldsymbol b$共線。

（3）向量共線定理主要用來證明兩條直線平行、三點共線等問題。

2、平面向量基本定理

如果$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任意向量$oldsymbol a$，有且只有一對實數(shù)$λ_1$，$λ_2$，使$oldsymbol a=λ_1oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$。把不共線的向量$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

定理的推廣：平面內(nèi)任意三個不共線（兩兩不共線）的向量中，任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一。

注：（1）由于零向量與任何向量都共線，所以零向量不能作為基底。

（2）如果對于一組基底$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$，有$oldsymbol a=$$λ_1oldsymbol e_1+$$λ_2oldsymbol e_2=$$μ_1oldsymbol e_1+$$μ_2oldsymbol e_2$，則可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量基本定理的相關例題

在平行四邊形$ABCD$中，$E$，$F$分別為邊$AD$，$CD$的中點，$AF$與$BE$相交于點$M$，則$overrightarrow{AM}=$___

A．$ rac{3}{4}overrightarrow{AB}+ rac{1}{4}overrightarrow{AE}$ B．$ rac{4}{5}overrightarrow{AB}+ rac{1}{5}overrightarrow{AE}$ C．$ rac{1}{4}overrightarrow{AB}+ rac{3}{4}overrightarrow{AE}$ D．$ rac{1}{5}overrightarrow{AB}+ rac{4}{5}overrightarrow{AE}$

答案：D

解析：設$overrightarrow{AM}=toverrightarrow{AF}$，$overrightarrow{EM}=soverrightarrow{EB}$，則$overrightarrow{AM}=$$toverrightarrow{AF}=$$tleft(overrightarrow{AD}+ rac{1}{2}overrightarrow{AB}ight)=$$overrightarrow{AE}+overrightarrow{EM}$，所以$tleft(overrightarrow{AD}+ rac{1}{2}overrightarrow{AB}ight)=$$overrightarrow{AE}+soverrightarrow{EB}=$$ rac{1}{2}overrightarrow{AD}+$$s(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AE})$，整理得$toverrightarrow{AD}+$$ rac{t}{2}overrightarrow{AB}=$$left( rac{1}{2}- rac{s}{2}ight)overrightarrow{AD}+$$soverrightarrow{AB}$，因為$overrightarrow{AD}$，$overrightarrow{AB}$不共線，所以$egin{cases}t= rac{1}{2}- rac{s}{2},frac{t}{2}=s,end{cases}$得$s= rac{1}{5}$，所以$overrightarrow{AM}-overrightarrow{AE}=$$overrightarrow{EM}=$$ rac{1}{5}overrightarrow{EB}=$$ rac{1}{5}(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AE})$，即$overrightarrow{AM}=$$ rac{1}{5}overrightarrow{AB}+$$ rac{4}{5}overrightarrow{AE}$，故選D。