圓的定義和有關(guān)概念

一、圓的定義和有關(guān)概念

1、圓的有關(guān)概念

（1）圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段$OA$繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)$O$旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)$A$ 所形成的圖形叫做圓。其固定的端點(diǎn)$O$叫做圓心，線段$OA$叫做半徑。以點(diǎn)$O$為圓心的圓，記作“$⊙O$”，讀作“圓$O$”。

此外，圓心為$O$，半徑為$r$的圓可以看成是所有到定點(diǎn)$O$的距離等于定長(zhǎng)$r$的點(diǎn)的集合。

（2）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。

（3）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

（4）�。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。以$A$，$B$為端點(diǎn)的弧記作$overset{ rown} {AB}$，讀作“圓弧$AB$”或“弧$AB$”。

圓的任意一條非直徑的弦把圓分成兩條不同長(zhǎng)的弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，一般用三個(gè)點(diǎn)表示；小于半圓的弧叫做劣弧。

（5）半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（6）等圓、等�。耗軌蛑睾系膬蓚�(gè)圓叫做等圓。

容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，同圓或等圓的半徑相等。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

2、垂直于弦的直徑

（1）圓的對(duì)稱(chēng)性

圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心。

圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性。

（2）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

3、弧、弦、圓心角

（1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

（2）圓心角定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

同樣還可以得到：

① 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。

② 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等。

4、圓周角

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

（2）圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓周角、兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。

（3）圓內(nèi)接多邊形

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。

（4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

5、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)$⊙O$的半徑為$r$，點(diǎn)$P$到圓心的距離$OP=d$，則有

r$。

（2）點(diǎn)$P$在$⊙O$上，$d=r$。

（3）點(diǎn)$P$在$⊙O$內(nèi)，$d

6、三角形的外接圓

（1）不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

（2）三角形的外接圓的有關(guān)概念：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。

（3）三角形外接圓的作法

① 確定圓心：三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心；

② 確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一頂點(diǎn)的距離即為外接圓的半徑。

7、直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為$d$。

（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。此時(shí)公共點(diǎn)數(shù)為2，$d

（2）相切：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。此時(shí)公共點(diǎn)數(shù)為1，$d=r$。

r$。

8、圓的切線

（1）切線的判定定理

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。此外，經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線一定過(guò)切點(diǎn)；垂直于切線且過(guò)切點(diǎn)的直線必過(guò)圓心。

（2）切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

9、切線長(zhǎng)

（1）切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

10、切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用

（1）輔助線的作法

運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證的常見(jiàn)輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題。

（2）證明直線與圓相切的三種途徑

① 證直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即運(yùn)用定義）。

② 證直線過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑（即運(yùn)用判定定理）。

③ 證圓心到直線的距離等于圓的半徑（即證$d=r$）。

當(dāng)題目已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法② ，當(dāng)題目未知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般用方法③ 。

11、三角形的內(nèi)切圓

（1）三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)概念

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。

（2）三角形內(nèi)切圓的作法

確定圓心：三角形兩條角平分線的交點(diǎn)即為圓心。

確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一邊的距離即為內(nèi)切圓的半徑。

（3） 如果三角形三邊長(zhǎng)分別為$a$，$b$，$c$，內(nèi)切圓半徑為$r$，則三角形的面積$S= rac{1}{2}(a+b+c)r$。

12、圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的半徑分別為$r_1$和$r_2(r_1

（1）兩圓相離

r_1+r_2Leftrightarrow$ 外離。沒(méi)有公共點(diǎn)。

② 內(nèi)含（含同心圓）：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含；兩個(gè)圓的圓心重合時(shí)，我們稱(chēng)這兩個(gè)圓是同心圓。此時(shí)$d=r_2-r_1Leftrightarrow$ 內(nèi)含，$d=0Leftrightarrow$ 同心圓。沒(méi)有公共點(diǎn)。

（2）兩圓相切

① 外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切。這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。此時(shí)$d=r_1+r_2Leftrightarrow$ 外切。公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

② 內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切。這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。此時(shí)$d=r_2-r_1Leftrightarrow$ 內(nèi)切。公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

（3）兩圓相交

兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相交。此時(shí)$r_2-r_1

13、正多邊形和圓

（1）正多邊形的有關(guān)概念

一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

（2）正多邊形的畫(huà)法

正$n$邊形的畫(huà)法思想是將圓$n$等分，然后順次連接等分點(diǎn)即得到所要作的正多邊形。如作正六邊形，可以先畫(huà)一個(gè)半徑與已知邊長(zhǎng)相等的圓，然后在上面截取得到等分點(diǎn)，連接即得到所要作的正六邊形。并非所有的正多邊形都可以只用尺規(guī)作出。

（3）正多邊形的計(jì)算

設(shè)正多邊形的邊數(shù)為$n$，半徑為$R$，邊心距為$r$，邊長(zhǎng)為$a$，則有：

① 正多邊形的內(nèi)角：$ rac{(n-2)·180°}{n}=$$180°-$$ rac{360°}{n}$。

② 正多邊形的中心角：$ rac{360°}{n}$。

③ 正多邊形的半徑：$R^2=r^2+ rac{1}{4}a^2$。

④ 正多邊形的周長(zhǎng)：$C=n·a$。

⑤ 正多邊形的面積：$S= rac{1}{2}nar= rac{1}{2}C·r$。

14、弧長(zhǎng)和扇形面積

（1）弧長(zhǎng)公式

在半徑為$R$的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)$C=2πR$，所以$n°$的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為$l=2πR· rac{n}{360}$，即$l= rac{nπR}{180}$。

（2）扇形面積公式

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。在半徑為$R$的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積$S=πR^2$，所以圓心角為$n°$的扇形面積是$S_{扇形}=$$πR^2×$$ rac{n}{360}=$$ rac{nπR^2}{360}$。

（3）圓錐的母線

圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的，把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。

（4）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖及有關(guān)計(jì)算

沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為$l$，底面圓的半徑為$r$ ，那么這個(gè)扇形的半徑為$l$，扇形的弧長(zhǎng)為$2πr$，因此圓錐的側(cè)面積為$S_{圓錐側(cè)}=$$ rac{1}{2}×$$2πr·l=$$πl(wèi)r$，圓錐的全面積為$S_{圓錐全}=$$πl(wèi)r+$$πr^2$。

二、圓的相關(guān)例題

若$⊙O$的半徑為5 cm，點(diǎn)$A$到圓心$O$的距離為4 cm，那么點(diǎn)$A$與$⊙O$的位置關(guān)系是___

A．點(diǎn)$A$在圓外

B．點(diǎn)$A$在圓上

C．點(diǎn)$A$在圓內(nèi)

D．不能確定

答案：C

解析：∵4 cm<5 cm，即$d