cantor定理

cantor定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上一致連續(xù)。換言之，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該閉區(qū)間一致連續(xù)。

歷史上比較著名的康托(Cantor)定理，大致有下列三個(gè):

康托定理1：閉區(qū)間上的連續(xù)實(shí)函數(shù)是一致連續(xù)的。

康托定理2：一個(gè)集合本身的勢(shì)嚴(yán)格小于其冪集的勢(shì)。

康托定理3：如果一個(gè)全序集是可列集，且是稠密的，無(wú)最大和最小值的，則它一定和有理數(shù)集序同構(gòu)。

cantor定理指的是在集合論中,任何集合A的冪集P(A)的勢(shì)嚴(yán)格大于A的勢(shì).cantor定理對(duì)于有限集合成立,對(duì)于無(wú)限集合也同樣成立.

下面給出由集合論的創(chuàng)始人康托爾于1891年所做的康托爾定理的證明:

設(shè) f 是從 A 到 A 的冪集P(A)的任何函數(shù).必須證明這個(gè)f必定不是滿射的.要如此,展示一個(gè)A的子集不在f的像中就足夠了.這個(gè)子集是:

B={x ∈A : x /∈ f(x)}(注:符號(hào):/∈代表的是不屬于)

要證明 B 不在 f 的像中,假設(shè) B 在 f 的像中. 那么對(duì)于某個(gè) y ∈ A,我們有 f(y) = B.現(xiàn)在考慮 y ∈ B 還是 y /∈B?如果 y ∈ B,則 y ∈ f(y),但是通過(guò) B 的定義,這蘊(yùn)涵了y /∈B.在另一方面,如果 y /∈B,則 y /∈f(y) 并因此 y∈B.任何方式下都是矛盾.因?yàn)?x 在表達(dá)式 "x /∈f(x)" 中重復(fù)出現(xiàn),這是對(duì)角論證法.