參數(shù)方程的概念以及和普通方程的互化

一、參數(shù)方程的概念以及和普通方程的互化

1、參數(shù)方程的概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)$x$，$y$都是某個(gè)變數(shù)$t$的函數(shù)$egin{cases}x=f(t),y=g(t),end{cases}$并且對(duì)于$t$的每一個(gè)允許值，由該方程組所確定的點(diǎn)$M(x,y)$都在這條曲線上，那么該方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)$x$，$y$的變數(shù)$t$叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

2、參數(shù)方程和普通方程的互化

曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)$x$，$y$中的一個(gè)與參數(shù)$t$的關(guān)系，例如$x=f(t)$，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系$y=g(t)$，那么$egin{cases}x=f(t),y=g(t)end{cases}$就是曲線的參數(shù)方程。

將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線的類型。

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使$x$，$y$的取值范圍保持一致。

3、直線的參數(shù)方程

（1）經(jīng)過點(diǎn)$M_0(x_0,y_0)$，傾斜角為$α$的直線$l$的參數(shù)方程為$egin{cases}x=x_0+tcos α,y=y_0+tsin αend{cases}$（$t$為參數(shù)）。

$M(x,y)$是直線$l$上與參數(shù)值$t$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

（2）直線參數(shù)方程中參數(shù)$t$的幾何意義：參數(shù)$t$的絕對(duì)值為直線$l$上的動(dòng)點(diǎn)$M$到定點(diǎn)$M_0$的距離。

4、圓的參數(shù)方程

（1）圓心

圓心在原點(diǎn)$O$，半徑為$r$的圓的參數(shù)方程為$egin{cases}x=rcosθ,y=rsin θend{cases}$（$θ$為參數(shù)），其中參數(shù)$θ$的幾何意義是$OM_0$繞點(diǎn)$O$逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到$OM$的位置時(shí)，$OM_0$轉(zhuǎn)過的角度。

推廣到一般：圓心為$(a,b)$，半徑為$r$的圓的普通方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，它的參數(shù)方程為$egin{cases}x=a+rcos θ,y=b+rsin θend{cases}$（$θ$為參數(shù)）。

二、參數(shù)方程的相關(guān)例題

能化為普通方程$x^2+y-1=0$的參數(shù)方程為___

A．$egin{cases}x=sin t,y=cos ^2tend{cases}$（$t$為參數(shù)）

B．$egin{cases}x= an φ,y=1- an ^2φend{cases}$（$φ$為參數(shù)）

C．$egin{cases}x=sqrt{1-t},y=tend{cases}$（$t$為參數(shù)）

D．$egin{cases}x=cos θ,y=sin ^2θend{cases}$（$θ$為參數(shù)）

答案：B

解析：A：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$；B：$y=1-x^2,x∈mathbf{R}$；C：$y=1-x^2,x∈[0,+∞)$；D：$y=1-x^2,x∈[-1,1]$，所以選B。