平面向量和幾種特殊的向量

一、平面向量和幾種特殊的向量

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$為起點、$B$為終點的向量記作：$overrightarrow{AB}$或$oldsymbol a$。

向量的兩要素：大小和方向。

2、向量的模

向量的大小叫做向量的長度（或稱模），記作：$|overrightarrow{AB}|$或$|oldsymbol a|$。

3、幾種特殊的向量

（1）零向量

長度為0的向量叫做零向量，記作$mathbf{0}$，其方向是任意的，$|mathbf{0}|=0$。

規(guī)定：$mathbf{0}$與任一向量平行。

（2）單位向量

長度為1個單位的向量叫做單位向量。

（3）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共線向量。

向量$oldsymbol a$與$oldsymbol b$平行，通常記作$oldsymbol a∥b$。

（4）相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量$oldsymbol a$與$oldsymbol b$相等，記作$oldsymbol a=oldsymbol b$。

① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。

② 相等向量具有傳遞性，而向量的平行不具有傳遞性（因為有零向量的存在）。

（5）相反向量

長度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量$oldsymbol a$與$oldsymbol b$相反，記作$oldsymbol a=-b$。同時向量$overrightarrow{AB}$與向量$overrightarrow{BA}$是一對相反向量，記作$overrightarrow{AB}$=$-overrightarrow{BA}$。

注：①零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性。

②任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。

③向量既有大小，又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能比較大小，但向量的模能比較大小。

④$displaystyle{} rac{oldsymbol a}{|oldsymbol a|}$表示與$oldsymbol a$同向的單位向量。

4、向量的線性運算

（1）向量的加法

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一個向量；對于零向量與任一向量$oldsymbol a$，有$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，即任意向量與零向量的和為其本身。

① 常用結(jié)論

$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，$|oldsymbol a+oldsymbol b|leqslant |oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

當$oldsymbol a$與$oldsymbol b$同向時，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=|oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

當$oldsymbol a$與$oldsymbol b$反向或$oldsymbol a$，$oldsymbol b$中至少有一個為$oldsymbol 0$時，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=$$|oldsymbol a|-|oldsymbol b|$（或$|oldsymbol b|-|oldsymbol a|$）。

② 向量加法的運算律

交換律：$oldsymbol a+oldsymbol b=oldsymbol b+oldsymbol a$。

結(jié)合律：$(oldsymbol a+oldsymbol b)+oldsymbol c=oldsymbol a+(oldsymbol b+oldsymbol c)$。

（2）向量的減法

求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

注：減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，兩個向量的差仍是向量。

常用結(jié)論

$-(-oldsymbol a)=oldsymbol a$，$oldsymbol a+(-oldsymbol a)=(-oldsymbol a)+oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol a-oldsymbol b=oldsymbol a+(-oldsymbol b)$。

（3）向量的數(shù)乘

一般地，我們規(guī)定實數(shù)$λ$與向量$oldsymbol a$的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作$λoldsymbol a$。它的長度與方向規(guī)定如下：

① $|λoldsymbol a|=|λ||oldsymbol a|$。

② 當$λ=0$時，$λoldsymbol a=0$；當$λ<0$時，$λoldsymbol a$的方向與$oldsymbol a$的方向相反；當$λ>0$時，$λoldsymbol a$的方向與$oldsymbol a$的方向相同。

向量數(shù)乘運算的結(jié)果仍是向量。實數(shù)與向量可以求積，但不能進行加減運算，如$λ+oldsymbol a$，$λ-oldsymbol a$無意義。

向量數(shù)乘的運算律

設(shè)$λ$，$μ$為實數(shù)，則有：

$λ(μoldsymbol a)=(λμ)oldsymbol a$（結(jié)合律）。

$(λ+μ)oldsymbol a=λoldsymbol a+μoldsymbol a$（第一分配律）。

$λ(oldsymbol a+oldsymbol b)=λoldsymbol a+λoldsymbol b$（第二分配律）。

特別地，我們有：

$(-λ)oldsymbol a=-(λoldsymbol a)=λ(-oldsymbol a)$。

$λ(oldsymbol a-oldsymbol b)=λoldsymbol a-λoldsymbol b$。

（4）向量的線性運算

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$以及任意實數(shù)$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1oldsymbol a±μ_2oldsymbol b)=$$λμ_1oldsymbol a±λμ_2oldsymbol b$。

5、向量共線定理

向量$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$與$oldsymbol b$共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)$λ$，使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

注：（1）定理中$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$oldsymbol a=oldsymbol b=oldsymbol 0$，則實數(shù)$λ$可以是任意實數(shù)；若$oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol b≠oldsymbol 0$，則不存在實數(shù)$λ$，使得$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

（2）對任意兩個向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，若存在不全為0的實數(shù)對（$λ$，$μ$），使$λoldsymbol a+μoldsymbol b=0$，則$oldsymbol a$與$oldsymbol b$共線。

（3）向量共線定理主要用來證明兩條直線平行、三點共線等問題。

6、平面向量基本定理

如果$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任意向量$oldsymbol a$，有且只有一對實數(shù)$λ_1$，$λ_2$，使$oldsymbol a=λ_1oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$。把不共線的向量$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

定理的推廣：平面內(nèi)任意三個不共線（兩兩不共線）的向量中，任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一。

注：（1）由于零向量與任何向量都共線，所以零向量不能作為基底。

（2）如果對于一組基底$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$，有$oldsymbol a=$$λ_1oldsymbol e_1+$$λ_2oldsymbol e_2=$$μ_1oldsymbol e_1+$$μ_2oldsymbol e_2$，則可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

7、向量的夾角

已知兩個非零向量$oldsymbol a$和$oldsymbol b$，作$overrightarrow{OA}=$$oldsymbol a$，$overrightarrow{OB}=$$oldsymbol b$，則$∠AOB=θ$（$0°leqslant θleqslant 180°$）叫做向量$oldsymbol a$與$oldsymbol b$的夾角。

當$θ=0°$時，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共線且同向；

當$θ=90°$時，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$相互垂直，記作$oldsymbol a⊥oldsymbol b$；

當$θ=180°$時，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共線且反向。

注：（1）向量的夾角是針對非零向量定義的。

（2）只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角。

8、平面向量的坐標運算

已知$A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$，則$overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。

注：（1）相等的向量坐標相同，但起點和終點的坐標不一定相同；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的端點無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。

9、平面向量的坐標表示

（1）平面向量共線的坐標表示

已知$oldsymbol a=(x_1,y_1)$，$oldsymbol b=(x_2,y_2)$，若$oldsymbol a∥oldsymbol b$，則有$x_1y_2-x_2y_1=0$。當且僅當$(x_2≠0,y_2≠0)$時，$oldsymbol a∥oldsymbol bLeftrightarrow$$ rac{x_1}{x_2}= rac{y_1}{y_2}$，即兩個不平行于坐標軸的共線向量的對應(yīng)坐標成比例。

注：若$A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$，$C=(x_3,y_3)$三點共線，則$(x_2-x_1)(y_3-y_2)=$$(x_3-x_2)(y_2-y_1)$，或$(x_2-x_1)(y_3-y_1)=$$(x_3-x_1)(y_2-y_1)$，或$(x_3-x_1)(y_3-y_2)=$$(x_3-x_2)(y_3-y_1)$。反之，若這些條件中有一個成立，則$A$，$B$，$C$三點共線。

（2）平面向量垂直的坐標表示

已知$oldsymbol a=(x_1,y_1)$，$oldsymbol b=(x_2,y_2)$，若$oldsymbol a⊥oldsymbol b$，則有$oldsymbol a·oldsymbol b=$$x_1x_2+y_1y_2=0$。

（3）線段中點的坐標表示

已知點$P$為線段$P_1P_2$的中點，且$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$P(x,y)$，則有$x= rac{x_1+x_2}{2}$，$y= rac{y_1+y_2}{2}$。

10、平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量$oldsymbol a$與$oldsymbol b$，我們把數(shù)量$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$叫做$oldsymbol a$與$oldsymbol b$的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作$oldsymbol a·oldsymbol b$，即$oldsymbol a·oldsymbol b=$$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$，其中$θ$是$oldsymbol a$與$oldsymbol b$的夾角。

兩個向量夾角的取值范圍是$[0°,180°]$，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積$oldsymbol a$·$oldsymbol b$等于$oldsymbol a$的長度$|oldsymbol a|$與$oldsymbol b$在$oldsymbol a$的方向上的投影$|oldsymbol b|cos θ$的乘積。

注：①投影和兩個向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量。當$θ$為銳角時投影為正值；當$θ$為鈍角時投影為負值；當$θ$為直角時投影為0；當$θ=0°$時投影為$|oldsymbol b|$；當$θ=180°$時投影為$-|oldsymbol b|$。

② $oldsymbol b$在$oldsymbol a$方向上的投影可以記為$|oldsymbol b|cos θ$，也可記為$ rac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a|}$。

二、平面向量的相關(guān)例題

已知非零向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$滿足$|oldsymbol a|=2|oldsymbol b|$，且$(oldsymbol a-oldsymbol b)⊥oldsymbol b$，則$oldsymbol a$與$oldsymbol b$的夾角為___

A．$ rac{π}{6}$ B．$ rac{π}{3}$ C．$ rac{2π}{3}$ D．$ rac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$(oldsymbol a-oldsymbol b)⊥oldsymbol b$，得$(oldsymbol a-oldsymbol b)·oldsymbol b=0$，所以$oldsymbol a·oldsymbol b=oldsymbol b^2$，所以$cos 〈oldsymbol a,oldsymbol b〉=$$ rac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a|·|oldsymbol b|}=$$ rac{|oldsymbol b|^2}{2|oldsymbol b|^2}=$$ rac{1}{2}$，所以$oldsymbol a$與$oldsymbol b$的夾角為$ rac{π}{3}$，故選B。