裂項(xiàng)相消法的定義和常見的裂項(xiàng)公式

一、裂項(xiàng)相消法的定義和常見的裂項(xiàng)公式

1、裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，求和時(shí)有些部分可以相互抵消，從而達(dá)到求和的目的。

2、常見的裂項(xiàng)公式：

（1）若${a_n}$是等差數(shù)列，則$ rac{1}{a_na_{n+1}}=$$ rac{1}wyekige·left( rac{1}{a_n}- rac{1}{a_{n+1}}ight)$，$ rac{1}{a_n·a_{n+2}}=$$ rac{1}{2d}left( rac{1}{a_n}- rac{1}{a_{n+2}}ight)$。

（2）$ rac{1}{n(n+1)}= rac{1}{n}- rac{1}{n+1}$。

（3）$ rac{1}{n(n+k)}= rac{1}{k}left( rac{1}{n}- rac{1}{n+k}ight)$。

（4）$ rac{1}{(2n-1)(2n+1)}=$$ rac{1}{2}left( rac{1}{2n-1}- rac{1}{2n+1}ight)$。

（5）$ rac{1}{n(n+1)(n+2)}=$$ rac{1}{2}left[ rac{1}{n(n+1)}- rac{1}{(n+1)(n+2)}ight]$。

（6）$ rac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+1}}=$$sqrt{n+1}-sqrt{n}$。

（7）$ rac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+k}}=$$ rac{1}{k}(sqrt{n+k}-sqrt{n})$。

注：抵消后的項(xiàng)數(shù)并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能剩下第一項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)。通過裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等。

二、裂項(xiàng)相消法的例題

等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，$a_3=3$，$S_4=10$，則$underset{k=1}{overset{n}{sum}} rac{1}{S_k}=$____

A．$ rac{n}{n+1}$ B．$ rac{2n}{n+1}$

C．$ rac{3n}{n+1}$ D．$ rac{4n}{n+1}$

答案：B

解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，由題意有：$egin{cases}a_1+2d=3,4a_1+ rac{4×3}{2}d=10,end{cases}$

解得$egin{cases}a_1=1,d=1,end{cases}$

數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n=$$na_1+$$ rac{n(n-1)}{2}d=$$n×1+$$ rac{n(n-1)}{2}×$$1=$$ rac{n(n+1)}{2}$，$ rac{1}{S_k}=$$ rac{2}{k(k+1)}=$$2left( rac{1}{k}- rac{1}{k+1}ight)$，所以$underset{k=1}{overset{n}{sum}} rac{1}{S_k}=$$2Big[left(1- rac{1}{2}ight)+$$left( rac{1}{2}- rac{1}{3}ight)+$$cdots+$$left( rac{1}{n}- rac{1}{n+1}ight)Big]=$$2left(1- rac{1}{n+1}ight)=$$ rac{2n}{n+1}$。