等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式

一、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式

1、等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$ rac{a_n}{a_{n-1}}=q(ngeqslant2)$。

（1）等比數(shù)列中任一項(xiàng)都不為0，且公比$q≠0$。

（2）若一個(gè)數(shù)列為常數(shù)列，則此數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，如：0，0，0，0，$cdots$。

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

（1）通項(xiàng)公式

若等比數(shù)列${a_n}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。

在記憶公式時(shí)，要注意$q$的指數(shù)比項(xiàng)數(shù)$n$小1這一特點(diǎn)。

注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$ rac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。

所以有：① 在已知等比數(shù)列${a_n}$中任一項(xiàng)$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比數(shù)列中的任意項(xiàng)$a_n$。

②已知等比數(shù)列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$兩項(xiàng)，就可以使用$ rac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。

（2）等比數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)

對(duì)于等比數(shù)列${a_n}$，若$q<0$，則${a_n}$中正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn)，如數(shù)列1，-2，4，-8，16，$cdots$；若$q>0$，則數(shù)列${a_n}$各項(xiàng)同號(hào)。綜上，等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)必同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào)。

3、等比中項(xiàng)

如果在$a$與$b$中間插入一個(gè)數(shù)$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比數(shù)列，那么$G$叫做$a$與$b$的等比中項(xiàng)。

若$G$是$a$與$b$的等比中項(xiàng)，則$ rac{G}{a}= rac{G}$，即$G^2=ab$，$G=±sqrt{ab}$。

① 任意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但不一定有等比中項(xiàng)。只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)且不為0時(shí)，才有等比中項(xiàng)。

② 兩個(gè)數(shù)$a$，$b$的等差中項(xiàng)只有一個(gè)，兩個(gè)同號(hào)且不為0的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)。

注：（1）只有非零同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。（2）在等比數(shù)列${a_n}$中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列末項(xiàng)除外）是前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)，即$a^2_n=a{n+1}a{n-1}(ngeqslant2，n∈mathbf{N}^*)$。

4、等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

0$且$q≠1$時(shí)，等比數(shù)列${a_n}$的圖象是指數(shù)型函數(shù)$y= rac{a_1}{q}·q^x$的圖象上一些孤立的點(diǎn)。

1end{cases}$或$egin{cases}a_1<0,