高次方程的定義和解法

一、高次方程的定義和解法

1、高次方程

一般地，最高次項的次數(shù)高于2次的均可稱為高次方程。

由兩個或兩個以上高次方程組成的方程組，叫做高次方程組。

2、高次方程的解法

對于一元五次以上的高次方程，是不能用簡單的算術(shù)方法來求解的，對于一元五次以下的高次方程，可以對其中的一些特殊形式的方程運(yùn)用特殊的方法來求解。下面通過舉例說一下某些特殊高次方程的幾種解法：

（1）換元法

例如四次方程($x$+1)($x$+2)($x$+3)($x$+4)+1=0，可以分成($x$+2)($x$+3)和($x$+1)($x$+4) 兩個因式，然后這兩個因式分別合并，得到($x^2 +5x$+6)($x^2 +5x$+4)+1=0，設(shè)$x^2+5x=y$，代入方程，得：($y$+6)($y$+4)+1=0，最后整理得，$y^2+10y$+25=0，解得$y_1=y_2$=-5，然后代入$x^2+5x=y$，得$x^2+5x$=-5，再解這個二次方程，即可求出原方程的四個實(shí)數(shù)根。

（2）配方法

例如四次方程$x^4$+6$x^3$+13$x^2$+12$x$+4=0，這個方程如果不仔細(xì)看，好像是看著很亂，找不到求解的頭緒，其實(shí)如果試用配方法解，應(yīng)該是很容易的。先通過配平方法將三次項式系數(shù)化掉，即($x^2$+3$x)^2$+4$x^2$+12$x$+4=0，然后觀察，正好后面的系數(shù)比和括號里的一樣，即($x^2$+3$x)^2$+4($x^2$+3$x$)+4=0，這樣就可以用換元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通過這個例子我們可以看出，對于某些最高次數(shù)為合數(shù)的$N$次方程，不僅可以考慮使用配$N$次方的方法，也可以考慮使用配$N$的因數(shù)次方的方法。例如四次方程可以考慮配平方的方法，六次方程可以考慮配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考慮配三次方的方法等等$cdotscdots$。

（3）因式分解法

例如解三次方程$x^3$+$x^2$+3$x$+27=0，可以分解因式為($x$+3)($x^2$-3$x$+9)+$x$($x$+3)=0，提取公因式($x$+3)，得($x$+3)($x^2$-2$x$+9)=0，然后就通過解$x^2$-2$x$+9=0、$x$+3=0 這兩個方程，解原方程只有一個實(shí)根$x$=-3。

以上這些解高次方程的方法仔細(xì)想一下，都來自于解二次方程的方法，所以數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)會舉一反三。

二、高次方程的相關(guān)例題

一元三次方程$x^3$-2$x^2$-4$x$+8=0的解為___

A．$x_1=x_2=2,x_3=-2$

B．$x_1=x_2=-2,x_3=2$

C．$x_1=x_2=4,x_3=-4$

D．$x_1=x_2=-4,x_3=4$

答案：A

解析：解原方程可變形為$x^2$($x$-2)-4($x$-2)=0，($x$-2)($x^2$-4)=0，($x-2)^2$($x$+2)=0。所以$x_1=x_2$=2，$x_3$=-2。故選A。