平方根的概念和性質(zhì)

一、平方根的概念和性質(zhì)

1、算術(shù)平方根

一般地，如果一個(gè)正數(shù)$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么這個(gè)正數(shù)$x$叫做$a$的算術(shù)平方根。$a$的算術(shù)平方根記為$sqrt{a}$，讀作“根號(hào)$a$”，$a$叫做被開方數(shù)。

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0。

2、平方根

（1）平方根的相關(guān)概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于$a$，那么這個(gè)數(shù)叫做$a$的平方根或二次方根。這就是說，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。如2和$-2$是4的平方根，簡記為$±2$是4的平方根。

（2）平方根的性質(zhì)

① 正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)。

② 0的平方根是0。

③ 負(fù)數(shù)沒有平方根。

（3）平方根的表示方法

正數(shù)$a$的算術(shù)平方根可以用$sqrt{a}$表示；正數(shù)$a$的負(fù)的平方根可以用符號(hào)“$-sqrt{a}$”表示，故正數(shù)$a$的平方根可以用符號(hào)“$±sqrt{a}$”表示，讀作“正、負(fù)根號(hào)$a$”。

3、平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

（1）區(qū)別

① 正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)，而正數(shù)的平方根有兩個(gè)。

② 正數(shù)$a$的算術(shù)平方根表示為$sqrt{a}$，而正數(shù)$a$的平方根表示為$±sqrt{a}$。

③ 正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)，而正數(shù)的平方根為一正一負(fù)，互為相反數(shù)。

（2）聯(lián)系

① 平方根包含算術(shù)平方根，一個(gè)數(shù)的正的平方根就是它的算術(shù)平方根。

② 只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根，即$sqrt{a}geqslant0$，$ageqslant0$。

③ 0的平方根與算術(shù)平方根均為0。

二、平方根的相關(guān)例題

12的負(fù)的平方根介于___

A．$-5$與$-4$之間

B．$-4$與$-3$之間

C．$-3$與$-2$之間

D．$-2$與$-1$之間

答案：B

解析：12的負(fù)的平方根是$-sqrt{12}$，且$-sqrt{16}<$$-sqrt{12}<$$-sqrt{9}$，即$-4<$$-sqrt{12}<$$-3$。故選B。